TIERRA Y TECNOLOGÍA Nº 60 | DOI:  https://dx.doi.org/10.21028/eog.2022.12.05 | Autor: Eulogio Pardo Igúzquiza. Investigador Científico. Instituto Geológico y Minero de España (IGME, CSIC)

Introducción

Recordemos que el karst es un terreno geológico muy sui generis que presenta un paisaje característico tanto en superficie como en el subsuelo. El karst se desarrolla principalmente en rocas carbonáticas, las cuales, a pesar de ser rocas duras o competentes, son relativamente solubles al agua de lluvia, la cual penetra por fracturas y otras discontinuidades de la roca, disolviendo y ensanchando dichas fracturas. Como consecuencia, en superficie el paisaje kárstico presenta depresiones cerradas que se denominan dolinas, mientras que en el subsuelo se forman redes de cuevas (el karst subterráneo). Desde el punto de vista hidrogeológico, las dolinas actúan como colectores de agua de lluvia (recarga preferente) y la transmiten al subsuelo donde circulará por una red de tuberías naturales, formada por conductos kársticos y fracturas, hasta volver a la superficie a través de los espectaculares manantiales kársticos.

Por otra parte, tenemos los fractales. En palabras del padre de los fractales, el matemático francés de origen polaco, Benoît Mandelbrot: “las nubes no son esferas, las montañas no son conos, la línea de costa no está formada por círculos, la corteza de un árbol es rugosa y los rayos no viajan en línea recta”. Es decir, la naturaleza tiende a ser rugosa y no está bien representada mediante las figuras suaves de la geometría clásica (geometría diferencial). Los fractales son objetos irregulares (esto es, rugosos) donde el mismo patrón se repite a diferentes escalas. Arquetipos de fractales son la línea de costa o un árbol. En el caso de una línea de costa, conforme vamos observado partes más pequeñas de la misma, aparecen nuevos detalles de entrantes y salientes, de modo que seguimos viendo la gran irregularidad que presenta. En el caso de un árbol, conforme vamos tomando zonas cada vez más pequeñas, seguimos viendo un árbol a escala (Fig. 1). Es decir, en los objetos fractales una parte se parece al todo. El nombre técnico de esta característica es el de autosimilitud o autosemejanza. Por otra parte, esta autosimilitud induce una segunda propiedad denominada invarianza de escala. La invarianza de escala implica que el objeto fractal no tiene un tamaño característico y cuando se muestra una foto del mismo, se ha de poner algún objeto de tamaño conocido (una escala) si queremos saber el tamaño del mismo a partir de la foto. Esto nos es muy familiar a los geólogos, siendo quizás lo primero que aprende un geólogo en el campo. De este modo, cuando se efectúa una foto de una estructura geológica en el campo hay que poner un objeto de tamaño conocido (una moneda, un bolígrafo, el martillo, una persona, …) para poder tener una idea del tamaño de la estructura fotografiada. En caso contrario no sabremos si la estructura representada en la foto (por ejemplo, un pliegue) tiene el tamaño de unos milímetros, centímetros, metros o centenares de metros. Los fractales tienen las dos características: son autosemejantes y tienen invarianza de escala. Sin embargo, no todas las estructuras geológicas son fractales, aunque una gran mayoría de ellas tienen invarianza de escala.

Por otra parte, están los fractales matemáticos que se pueden utilizar como modelos de determinadas estructuras geológicas. Los fractales matemáticos se construyen por iteración de un proceso muy simple dando lugar a una autosemejanza exacta, de modo que una parte se parece exactamente al todo. Sin embardo, en los fractales naturales la autosemejanza es estadística, de modo que una rama “se parece” al árbol completo, aunque no sea exactamente igual (Fig. 1).

Figura 1. Un árbol como arquetipo de fractal, donde el mismo patrón (ramificado) se repite a diferentes escalas. Una parte se parece al todo (autosemejanza) y la invarianza de escala se observa en el hecho de que no podríamos decir el tamaño de la rama dentro del recuadro azul si nos la presentasen en una foto ella sola.

Adicionalmente, asociado al concepto de fractal está el concepto de dimensión fractal. Nos son familiares las dimensiones euclídeas que toman un valor entero, como las 3 dimensiones del espacio, las 2 dimensiones de un plano o la dimensión 1 de una línea recta. Sin embargo, estas dimensiones no son adecuadas para la descripción de un objeto irregular de la naturaleza y por ello se introduce el concepto de dimensión fractal o fraccionaria. La dimensión fractal (Figura 2) es un número que sirve para cuantificar la rugosidad (o irregularidad o complejidad) de un objeto; incluidos objetos naturales como pueden ser un árbol, una nube o una cueva.

Figura 2. La línea recta en la figura A tiene una dimensión de 1, al igual que el plano en la figura D tiene una dimensión de 2. En B y C, conforme la línea se hace más irregular, más rugosa, tiende a llenar el plano marcado por líneas discontinuas, teniendo una dimensión fractal que está comprendida entre 1 y 2. La dimensión fractal crece conforme la rugosidad aumenta al pasar de la figura B a la figura C.

Como se ha dicho, un fractal matemático se genera por una aplicación repetida de un proceso muy simple. La figura 3 representa un fractal matemático tridimensional que se conoce como esponja o cubo de Menger. Con posterioridad veremos su relación con el karst pero resulta ilustrativo construir nosotros mismos un fractal matemático bidimensional como la alfombra de Sierpinski que también se muestra en la figura 3. En efecto, cada cara del cubo de Menger en la figura 3 es una alfombra de Sierpinski. Su generación es extremadamente simple y la hemos ilustrado en la figura 4. La alfombra de Sierpinski se genera mediante la aplicación a un cuadrado (A en figura 4) de la siguiente operación básica: en un primer paso se divide el cuadrado en 9 cuadrados más pequeños mediante dos rectas paralelas y equidistantes tanto en la vertical como en la horizontal (B en figura 4) y en un segundo paso se vacía el cuadrado central (C en figura 4). En nuestro dibujo no es necesario vaciar el cuadrado central y basta con ponerlo en otro color, como por ejemplo en negro. De este modo tenemos la alfombra de Sierpinski después de la primera iteración (D en figura 4). A continuación, se vuelve a aplicar la misma operación básica (pasos 1 y 2) a cada uno de los 8 cuadrados que no se vaciaron en la primera iteración (E y F en figura 4). De este modo se obtiene la alfombra de Sierpinski después de la segunda iteración (G en figura 4). El proceso se vuelve a repetir con cada uno de los 64 cuadrados que no se vaciaron en la segunda iteración (H e I en figura 4) obteniéndose la alfombra de Sierpinski después de la tercera iteración (J en figura 4). El procedimiento sigue para infinitas iteraciones, aunque para un ejemplo práctico hay que detenerse en una iteración dada.

Figura 3. Cubo o esponja de Menger. Cada cara del cubo es una alfombra de Sierpinski. En el texto principal se ilustra su relación con el karst. Figura de Wikipedia creada y distribuida por Niabot bajo licencia GNU Free Documentation.
Figura 4. Proceso de construcción de una alfombra de Sierpinski después de una (figura D), dos (figura G) y tres (figura J) iteraciones. El proceso básico se muestra en A, B y C donde un cuadrado se divide en 9 cuadrados iguales y se vacía el cuadrado central. El proceso se repite indefinidamente repitiendo el proceso con los cuadrados generados en cada iteración. El procedimiento se explica en el texto principal.

El karst es fractal, tanto el karst en superficie como en el karst subterráneo

El karst es fractal y podemos relacionarlo con la alfombra de Sierpinski. Para ello, si los vacíos de la alfombra de Sierpinski (en color negro en A en figura 5) se desordenan, localizándolos al azar (B en figura 5), y su forma se transforma a irregular, aunque se puede conservar el área (C en figura 5) el resultado final es comparable con la porosidad por disolución de una muestra de caliza del Mioceno Superior de Mallorca (D y E en la figura 5).  

Figura 5. En la naturaleza los vacíos de la alfombra de Sierpinski (A) aparecerán con una ordenación aleatoria (B) y la geometría de los vacíos tenderá a ser irregular (C) más que cuadrada (aunque se conservase el área). Esta alfombra de Sierpinski modificada se puede comparar con una laja de una caliza arrecifal del Mioceno Superior (D) y el parecido es mayor si pasamos la foto a blanco y negro (E), donde el negro está asociado con los vacíos en la roca, esto es, la porosidad secundaria por disolución de la roca. D se puede considerar como un karst a escala. La altura de la tableta de caliza es de 40 cm.

Por otra parte, Curl (1986) mostró que la distribución de tamaños de cuevas (tramos de cuevas limitadas por pasajes menores a un determinado tamaño) tienen una distribución fractal y obtiene un valor de 2.7 para la cueva Little Brush Creek en Estados Unidos. Este valor de 2.7 corresponde a la dimensión fractal de una esponja de Menger (Fig. 3). También se ha descubierto que las redes de cuevas son fractales de dimensión 5/3 = 1.67 (Fig. 6). El tipo de red de la figura 6 es de tipo epigénico, esto es, formada por el agua de lluvia que desciende de modo turbulento a lo largo de dicha red hasta alcanzar el nivel piezométrico o conductos cada vez más pequeños en la zona no saturada. La teoría de la turbulencia de Kolmogorov predice como la energía de un proceso turbulento se va transmitiendo en cascada desde los grandes vórtices a vórtices cada vez más pequeños hasta que en último término la energía se disipa en los vórtices más pequeños por fricción. La pendiente del espectro de energía de la teoría de la turbulencia de Kolmogorov, en un gráfico doblemente logarítmico, es de 5/3. Por ello, como conjetura, es previsible que las redes kársticas laberínticas hipogénicas, relacionadas con un desarrollo el karst de abajo hacia arriba asociado a flujos lentos de origen hidrotermal profundo, tengan una dimensión fractal distinta a 5/3.

Figura 6. Topografía de los 130 km de conductos kársticos de la red subtropical de Shuanghe en China, a partir de datos suministrados por Jean Bottazi (Plongée Spéléo Club Jeunes Années, PSCJA). La dimensión fractal de esta red es de 5/3 = 1.67.

Asimismo, el relieve kárstico es fractal por la gran rugosidad que presenta (Figura 7). Sin embargo, la dimensión fractal del relieve kárstico y la de cualquier otra topografía natural o de ingeniería de los materiales tendrá será menor a 2.3, que es un límite teórico calculado por Persson (2014) atendiendo a razones de resistencia y estabilidad de los materiales.

Figura 7. La topografía kárstica en superficie es fractal. El Torcal de Antequera, en la provincia de Málaga, presenta una gran rugosidad por la red de fracturas a diferentes escalas así como por la estratificación horizontal que delimitan bloques apilados que proporcionan una gran rugosidad al relieve kárstico.

Relación entre una red de cuevas y la red del metro de Madrid

Existe una gran similitud entre el patrón de variabilidad espacial de una red kárstica y el de la red de metro de una ciudad como Madrid, tal y como se puede verificar en la figura 8. Este es un ejemplo de la llamada universalidad de los fractales, donde procesos físicos muy diferentes dan lugar a patrones espaciales parecidos. En efecto, los procesos físicos que han originado las redes de cuevas y del metro son tan diferentes que en un caso es obra de la naturaleza (la red de cuevas) y el otro es el resultado de la ingeniería humana (la red del metro). Sin embargo, ambas redes son parecidas como se observa en la figura 8, de modo que ambas redes presentan autosimilitud e invarianza de escala, esto es, tienen un carácter fractal. En la figura 8A se puede ver como una parte de la red (por ejemplo la contenida dentro del cuadrado amarillo) se parece al todo (la red completa) y la invarianza de escala es evidente pues no se ha representado ninguna escala en la figura y, por consiguiente, ¿podría el lector decir si la anchura de la figura está representado cientos de metros, o varios kilómetros o decenas de kilómetros? Obviamente la respuesta es no.

La determinación de la dimensión fractal de la red de cuevas de Sakany por el método del recuento de cajas (box counting) se ilustra en la figura 9 y se explica en la leyenda de dicha figura. El resultado es una dimensión fractal de 1.79. La misma metodología se puede aplicar a la red del metro de Madrid mostrada en la figura 8B y se obtiene una dimensión fractal de 1.47. La mayor dimensión fractal, en este caso, de la red de cuevas implica su mayor irregularidad y complejidad que la red de metro de Madrid, como queda patente de modo intuitivo si se observan y comparan ambas redes en la figura 8.

Figura 8. La proyección en planta de la red kárstica de Sakany (A) en Francia muestra un gran parecido con la red del metro de Madrid (B) aunque con mayor complejidad de la red de cuevas como lo muestra su mayor dimensión fractal. La red de Sakany ha sido proporcionada por Jean-Pierre Cassou (Groupe de Recherches et d’Activités Spéléo, Lourdes, France) y la red del metro de Madrid por el Consorcio de Transportes de Madrid (Comunidad de Madrid).
Figura 9. Determinación de la dimensión fractal de la red kárstica de Sakany mediante el método del conteo de cajas (box counting). La red kárstica se recubre con una malla de cajas cuadras de dimensión progresivamente decreciente (de 1 en la figura A hasta 1/16 en la figura E). Se contabiliza el número de cajas que contienen conductos (independientemente de si contienen muchos o pocos) y se representan frente al tamaño de la caja en un gráfico log-log. La pendiente de la recta ajustada, cambiada de signo, es la dimensión fractal que en la figura para la red de Sakany adopta un valor de 1.79.

La distribución del tamaño de dolinas en el karst (abundancia de dolinas) es fractal

La cartografía de dolinas se ha efectuado normalmente utilizando mapas topográficos y sobre todo fotografías aéreas donde la visión estereoscópica del relieve permitía su identificación como depresiones cerradas y su delineación. Sin embargo, sólo las depresiones de mayor tamaño podían ser identificadas. Por otra parte, la identificación en campo resulta muy onerosa si el área a investigar es muy grande o hay zonas de difícil acceso. Esta situación ha cambiado con la disponibilidad de los modelos digitales de elevaciones (MDE) que pueden considerarse como los modernos mapas topográficos. En efecto, el MDE es una matriz o malla de datos de elevación, donde se puede considerar como una cuadrícula se ha superpuesto sobre el terreno y la altitud de cada celda ha sido calculada. El Instituto Geográfico Nacional dispone de los MDE de toda España, con la partición correspondiente a las hojas topográficas 1:50000, para descarga gratuita. La resolución espacial de este MDE es de 5 m, es decir el MDE está constituido por una malla de celdas cuadradas de 5 m de lado y para cada celda se conoce su altitud. Un ejemplo se muestra en la figura 10A que representa el MDE del macizo kárstico del Parque Nacional de la Sierra de las Nieves. Una de las ventajas del formato digital, esto es numérico, de los MDE es que están especialmente indicados para su tratamiento matemático. De este modo siguiendo un procedimiento de relleno de depresiones del terreno es posible obtener la cartografía de las mismas como se muestra en B y C de la figura 10. Del mismo modo, resulta inmediato el conteo de depresiones y el cálculo del área de cada una de ellas. Así, cuando se representa en un gráfico doblemente logarítmico (figura 10D) el número de depresiones que superan una determinada superficie frente al área, se puede verificar si los puntos así obtenidos se disponen a lo largo de una línea recta lo que implicaría el carácter fractal de la distribución de tamaños de dolinas. Asimismo, la pendiente de la recta (cambiada de signo) indica el exponente de la ley potencial que para el caso de la figura 10 toma un valor de 0.87. Diversos autores han demostrado el mismo carácter fractal de la distribución de lagos en áreas graníticas con un exponente de valor 0.79, lo que indica un valor más bajo que para las depresiones kársticas, porque, en efecto, para el caso de los lagos no todas las depresiones existentes en el terreno tienen por qué ser impermeables o endorreicas que permitan el desarrollo de un lago si hay disponibilidad de agua para su formación.

Figura 10. La distribución de tamaños de las depresiones kársticas (dolinas) de un karst es fractal si sigue una ley potencial. A partir del modelo digital de elevaciones, MDE, (Fig. A) del sistema kárstico del Parque Nacional de la Sierra de las Nieves se estiman las depresiones kársticas que se muestran en la figura B como un mapa binario para los píxeles del MDE (1 = depresión, 0 = no es depresión). En la figura C se muestra la calidad de la cartografía de las depresiones kársticas donde se muestra la batimetría o profundidad de cada depresión con respecto a su borde. La representación del número (abundancia) de depresiones mayores que una determina área en un gráfico log-log (Fig. D) permite calcular el exponente de la ley potencial que caracteriza el carácter fractal de la distribución del tamaño de dolinas.

Relación de la distribución espacial de dolinas y de galaxias en el universo

Un nuevo ejemplo de universalidad fractal se encuentra al comparar la distribución de dolinas en un macizo kárstico y la distribución de galaxias en el universo proyectadas sobre un plano. Si se sustituye cada dolina de un área dada por un punto, se genera un mapa de puntos como el que se muestra en la figura 11A, el cual proviene de sustituir cada depresión kárstica de la figura 10B por su centroide. La figura 11A representa el mapa de puntos de las depresiones kársticas del Parque Nacional de la Sierra de las Nieves. Igualmente, cada galaxia se puede sustituir por un punto. Por otra parte, la imagen de la figura 11B muestra una sobrecogedora fotografía de las galaxias observadas en una zona del cielo por el telescopio espacial James Webb de la NASA. No obstante, los mapas de puntos de galaxias proyectados sobre un plano se han obtenido a partir de bases de datos astronómicas donde se han almacenado las coordenadas de miles de galaxias. La figura 12 muestra tres mapas de puntos, donde dos de ellos son mapas de puntos de dolinas y el otro es un mapa de puntos de galaxias. Por consiguiente, la anchura de dos de esos mapas representan unas pocas decenas de kilómetros mientras que el otro representa una anchura de millones de años luz, luego millones y millones de kilómetros. Y sin embargo los tres mapas se parecen. ¿Sabría el lector, adivinar, qué mapa de la figura 12 corresponde a un mapa de puntos de galaxias y cuáles son los dos mapas de puntos de depresiones kársticas?

Figura 11. En A se muestra el mapa de puntos de las dolinas del Parque Nacional de la Sierra de las Nieves mostrado en la figura 10B. Este mapa se obtiene al sustituir cada dolina por un punto representado por su centroide. En B se muestra una imagen de la distribución de galaxias en el universo en una reciente imagen del telescopio espacial James Webb de la Nasa. Un mapa de puntos se puede obtener si cada galaxia se sustituye por un punto.

Ciertamente resulta muy difícil decir cuál es cuál. Ya hemos dicho que se trata de otro caso de universalidad de los fractales, donde fenómenos físicos muy diferentes dan lugar a un patrón espacial muy parecido. En efecto, la distribución espacial de los centros de dolinas está determinado por la distribución espacial de las propias dolinas que depende fundamentalmente de la distribución de las fracturas ya que en intersecciones de fracturas y en zonas de mayor densidad de fracturas (Fig. 13A) es donde tenderán a formarse las dolinas porque será mayor el agua de lluvia que se infiltra y que disuelve la roca en superficie formando la depresión cerrada. Además, es bien conocido que la disposición espacial de las fracturas geológicas es fractal. Para el caso de las galaxias el fenómeno físico asociado es totalmente diferente. En este caso, los físicos teóricos han formulado la hipótesis de la existencia de un entramado de filamentos de materia oscura (Fig. 13B) en cuyas intersecciones se forman las galaxias. Posiblemente dicho entramado de materia oscura también tenga también un carácter fractal. 

Figura 12. Estos tres mapas de puntos (imágenes de la izquierda, centro y derecha) representan dos mapas puntos de dolinas de dos sistemas kársticos españoles así como un mapa de puntos de galaxias. ¿Puede el lector adivinar cuál es el mapa de puntos de galaxias?
Figura 13. En A se muestra las trazas de una red de fracturas en un plano. En B se muestra una simulación de la distribución de materia oscura efectuada por la Agencia Espacial Europea (ESA).

Relación del karst y la tribu de los Hadza en Tanzania

La tribu de los Hadza, en el norte de Tanzania, tienen un hábito de caza muy particular. Cuando salen de caza a la sabana del norte de Tanzania, donde viven, y llegan a un territorio propicio, su estrategia consiste en realizar carreras cortas de dirección aleatoria y dirigida a determinados grupos de arbustos donde pueden estar escondidos los animales a cazar. Pero efectuadas varias de estas carreras cortas, el grupo elige una dirección al azar y realiza una carrera larga para alcanzar otra zona diferente donde volverán a repetir la secuencia de unas pocas carreras cortas. El proceso se ilustra gráficamente en la figura 14A. Esta estrategia resulta óptima para conseguir cazar en una zona tan heterogénea como la sabana, donde después de una serie de carreras cortas los animales ya están alertados de la presencia de los cazadores y con seguridad habrán huido hacia otra zona. Los cazadores responden a dicho hecho renovando su zona de caza mediante la carrera larga en una dirección al azar. Este tipo de caminata aleatoria donde a varias carreras cortas le sigue una carrera larga se conoce como caminata o vuelo de Levy y ha sido utilizado en geomorfología para la simulación de la disposición espacial de grupos de depresiones kársticas (B y C en figura 14).

Figura 14. La figura A describe el patrón espacial del hábito de caza de la tribu de los Hadza. Una serie de carreras cortas (1,2,3 y 4 en azul) son seguidas de una carrera larga (1 en rojo) para volverse a repetir el proceso. Tanto las direcciones de las carreras cortas como las de las largas son aleatorias. Esto describe una caminata o vuelo de Levy. En B se muestra una simulación por ordenador de un vuelo de Levy que al prescindir de las líneas que unen los puntos se genera un patrón espacial ( Figura C) que sirve para describir la disposición espacial de las dolinas en un macizo kárstico.

Relación del karst y los procesos de agregación limitada por la difusión

La difusión es un proceso físico donde las partículas se mueven de una región de alta concentración a una región de baja concentración, hasta obtener una distribución uniforme. El movimiento de dichas partículas se puede simular como una caminata aleatoria discreta (figura 15A) o como un movimiento Browniano (figura 15B). El proceso de agregación limitada por la difusión (ALD) es un proceso donde una serie de partículas siguen un movimiento de caminata aleatoria y cuando dos partículas se tocan se quedan pegadas formando un agregado que sigue con un movimiento de caminata aleatoria como si de una partícula simple se tratase. Este proceso de ALD se ha utilizado para simular redes kársticas tal y como se ilustra en la figura 16. La figura 16A muestra la situación inicial donde 100 “partículas”, que en realidad son 100 pequeños trozos de conductos kársticos, se han dispuesto al azar en el plano. Las 100 partículas comienzan su caminata aleatoria independiente para cada una de ellas y conforme chocan van quedando unidas formando un agregado que sigue moviéndose de modo aleatorio. Con el transcurso de la simulación (B y C en figura 16) el número de partículas (agregados) va disminuyendo al mismo tiempo que van incrementado su tamaño. En última estancia se formará un único agregado (D en figura 16) con un tamaño igual a la suma de las 100 partículas iniciales y que constituye la red de cuevas simulada. La figura 17 muestra el realismo de estas simulaciones. La red de cuevas simulada tiene la longitud de conductos deseada, la rosa de direcciones que se desee y la dimensión fractal correcta para las redes de conductos kársticos epigénicos que se ha visto anteriormente.

Figura 15. En A se muestra una caminata aleatoria discreta mientras que en B se muestra una caminata aleatoria continua o movimiento browniano. En la caminata aleatoria discreta para cada intervalo temporal nos desplazamos una celda cuya elección se deja al azar. En el caso continuo la dirección es al azar y el desplazamiento es un salto de tamaño variable pero no muy largo.
Figura 16. Ejemplo de simulación de una red kárstica por un proceso de agregación limitada por la difusión. En A se muestra la situación de partida con 100 fragmentos de una red kárstica dispuestos aleatoriamente en el plano. El proceso comienza con todas las partículas moviéndose en un proceso de caminata aleatoria y con la particularidad de que cuando dos fragmentos se tocan se quedan enlazados y se siguen moviendo conjuntamente como un solo elemento. Conforme avanza la simulación el número de agregados disminuye e incrementa su tamaño (B y C en la figura) hasta que finalmente se forma un único agregado que es la red kárstica simulada.
Figura 17. La figura muestra el gran realismo de una red simulada por agregación limitada por difusión (A) que puede compararse con una red real como es el caso de la red kárstica de Mammoth Cave en Estados Unidos (B).

Conclusiones

El carácter fractal del karst implica una gran relación entre el karst y las matemáticas. Se ha mostrado una selección de ejemplos de este carácter fractal tanto para el karst en superficie (exokarst) como para el karst subterráneo (endokarst). Este carácter fractal no es meramente anecdótico, sino que tiene aplicaciones prácticas para determinar la porosidad de conductos, simular la red de conductos kársticos, determinar el porcentaje de red kárstica que queda por descubrir, etc.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido patrocinado por el Proyecto de Investigación PID2019-106435GB-I00 financiado por la Agencia Estatal de Investigación del Ministerio de Ciencia e Innovación.

Referencias

  • Curl R.L., 1960. Stochastic models of cavern development. Bulletin National Speleological Society, 22: 66-76.
  • Curl R.L., 1964. On the definition of a cave. Bulletin National Speleological Society, 26: 1-6.
  • Curl R.L., 1966. Caves as a measure of karst. Journal of Geology, 74: 798-830.
  • Curl R.L., 1986. Fractal Dimensions and Geometries of Caves. Mathematical Geology, 18: 765-783.
  • Mandelbrot B.B., 1967. How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension. Science, 156: 636-638.
  • Mandelbrot B.B., 1975. Stochastic models for the Earth’s relief, shape and fractal dimension of coastlines, and number-area rule for islands. Proceedings National Academy of Sciences USA, 72: 3825-3838.
  • Mandelbrot BB., 1983. The fractal geometry of nature. WH. Freeman, San Francisco, 460 p.
  • Pardo-Igúzquiza E., Durán-Valsero J.J. and Rodríguez-Galiano V., 2011. Morphometric analysis of three dimensional networks of karst conduits. Geomorphology, 132: 17-28.
  • Pardo-Igúzquiza E., Dowd P.A., Xu C. and Durán-Valsero J.J., 2012. Stochastic simulation of karst conduit networks. Advances in Water Resources, 35: 141-150.
  • Pardo-Igúzquiza E., Durán J.J. and Dowd P.A., 2013. Automatic detection and delineation of karst terrain depressions and its application in geomorphological mapping and morphometric analysis. Acta Carsologica, 42 (1): 17-24.
  • Pardo-Igúzquiza E., Durán J.J., Robledo P., Guardiola C., Luque J.A. and Martos S., 2014A. Fractal modelling of karst conduits. In: Pardo-Igúzquiza E. Guardiola-Albert C., Heredia J., Moreno-Merino L., Durán J.J. & Vargas-Guzmán J.A. (Eds.), Mathematics of Planet Earth. Springer, Berlin, p. 217-220.
  • Pardo-Igúzquiza E., Durán J.J., Luque-Espinar J.A.  and Martos-Rosillo S., 2014b. Análisis del relieve kárstico mediante el modelo digital de elevaciones. Aplicaciones a la Sierra de las Nieves (provincia de Málaga). Boletín Geológico y Minero, 125: 381-389.
  • Pardo-Igúzquiza E., Durán J.J. and Robledo-Ardila P.A., 2016a. Modelado fractal de la distribución del tamaño de dolinas en el macizo kárstico de la Sierra de las Nieves (Málaga, España). Cuaternario y Geomorfología, 30: 61-73.
  • Pardo-Igúzquiza E., Durán J.J., Robledo-Ardila P., Luque-Espinar J.A., Martos-Rosillo S., Guardiola-Albert C. and Pedrera A., 2016b.  The karst network system of the Sierra de las Nieves (Málaga, Spain). An example of a high relief Mediterranean karst. Boletín Geológico y Minero, 127: 193-204.
  • Pardo-Igúzquiza E., Pulido-Bosch A., López-Chicano M. and Durán J.J., 2016c. Morphometric analysis of karst depressions on a Mediterranean karst massif. Geografiska Annaler: Series A, Physical Geography, 98: 247-263.
  • Pardo-Igúzquiza, E., Dowd, P and Rizo-Decelis, L.D. 2019. On Sinkholes and Galaxies: An Example of Fractal Universality. Mathematical Geosciences, 52, 639-650
  • Pardo-Igúzquiza, E., Dowd, P, 2020. Fractal analysis of karst landscapes. Mathematical Geosciences, 52, 543-563.
  • Pardo-Iguzquiza, E., Dowd, P. and Telbisz, T. 2020. On the size-distribution of solution dolines in carbonate karst: Lognormal or power model? Geomorphology, 351, 106972.
  • Persson B.N.J., 2014. On the fractal dimension of rough surfaces. Tribology Letters, 54: 99-106.

Artículos relacionadosMás del autor