TEXTO: Rogelio Meléndez Tercero. Colegiado nº 601
Introducción
La fotogrametría se define como la técnica que permite dibujar imágenes en proyección ortogonal a partir de fotografías (dos como mínimo) normales, esto es plasmadas en proyección cónica. A nivel coloquial se puede definir como la parte de la topografía que se ocupa de levantar planos normales a partir de imágenes fotográficas normales. Como es obvio un plano, por definición, está realizado en proyección ortogonal y ello supone una escala constante. Una foto normal está realizada en proyección cónica y por ello, salvo casos muy especiales, la escala de la misma no es constante. Existen las llamadas ortofotos que son fotografías de escala constante (como un plano cualquiera), pero esas imágenes fotográficas se logran modificando de modo adecuado las fotos normales mediante técnicas que no conozco en detalle.
Aunque en los trabajos geológicos, se usan fotografías y en especial fotografías aéreas con eje de toma vertical, la fotogrametría no es por norma general necesaria. Los geólogos trabajamos a partir de mapas elaborados por otros profesionales, como los cartógrafos y los topógrafos. La fotogrametría es una parte de la topografía, ciencia que tampoco formaba parte de las materias de estudio y a la que se aludía sólo por su relación con la realización de mapas geológicos. No obstante, el empleo de fotografías aéreas, con eje de toma vertical, para realizar cartografías geológicas era algo habitual.
Mis conocimientos de fotogrametría los fui adquiriendo ya en la vida profesional, en la que tuve que dedicarme no sólo a la geología. Creo que dediqué muchas más horas de trabajo a labores de topografía que a labores puramente geológicas. De este modo, un poco sin querer y otro a propio intento fui adquiriendo conocimientos de fotogrametría. Las primeras nociones ya durante la carrera (creo recordar) en un librito escrito en francés (Pierre Merlin. LA TOPOGRAPHIE), que aún conservo. Asimismo el manejo de fotografías aéreas durante la carrera de Ciencias Geológicas, me llevó por simple curiosidad a realizar hace ya más de 40 años, una serie de análisis y medidas sobre fotografías aéreas del conocido como Vuelo Americano Serie B (del año 1956).
Fig.1.- Fotograma del “Vuelo Americano Serie B”. 27-julio-1956.Escala aproximada 1 : 30 000.
Lo que escribo en este artículo en buena medida se basa en mi experiencia laboral, como topógrafo. Si no me hubiese dedicado a realizar labores de topografía, creo que no sería capaz de escribirlo. Además y siendo consciente de que este es un tema más propio de topógrafos y cartógrafos que de geólogos; he contado con la inestimable ayuda del ingeniero Rogelio Cerdeira Crespo gran conocedor de la topografía y la fotografía y en gran medida el maestro del que aprendí lo que se de topografía. Hace años fuimos compañeros de trabajo (minería del carbón en El Bierzo) y desde entonces muy buenos amigos.
Historia
La fotogrametría es una técnica antigua, prácticamente tan antigua como la fotografía. A mitad del siglo XIX un científico y militar francés Aimé de Laussdat, fue quien la utilizó por vez primera, pero en principio se trataba de la fotogrametría terrestre. Es importante este dato porque los geólogos al pensar en la fotogrametría, la relacionamos de entrada con fotografías aéreas de eje de toma vertical y sospecho que en general con el llamado Vuelo Americano Serie B, realizado a mitad de los años 50. /Figura 1).
Se ha escrito que el inventor de la fotogrametría (A. de Laussedat) tuvo la idea de utilizar las fotografías para hacer planos, porque esta técnica es similar al método topográfico conocido como el de la plancheta. Esta técnica consiste básicamente en trazar desde dos puntos diferentes visuales (representadas por líneas) al objeto del que se quiere hacer un plano. Debe haber sido utilizada desde hace siglos para realizar planos correctos de por ejemplo fortalezas militares. Es muy útil porque desde distancia prudencial y simplemente observado (trazando visuales y dibujándolas en un papel o similar) y sin necesidad de hacer apenas cálculo alguno es posible hacer planos aceptables. Figura 2.
A lo largo del siglo XIX, se fueron haciendo más y más análisis del asunto, que fueron apoyados por gobiernos y ejércitos de los países más desarrollados del mundo. España entre ellos. Como dato curioso, cabe señalar que antes de la Guerra Civil Española, entre los años 1926 y 1930, el gobierno español realizó mapas de amplias zonas de Marruecos, que entonces era un protectorado español, mediante técnicas de fotogrametría. En el caso de las zonas de Marruecos, fue el conflicto armado el que impulsó el empleo de la fotogrametría. Muchas personas quizá supongan que la aviación española sobrevolaba el terreno haciendo fotografías, pero no fue así. Las fotografías se hacían desde el suelo y lógicamente desde zonas no controladas por el enemigo, lo que supuso una gran ventaja.
Asimismo, con fotogrametría terrestre se realizaron planos de los alrededores de Madrid a escala 1: 10 000 y con curvas de nivel con una equidistancia de sólo 5 metros. La realización de planos con curvas de nivel por métodos de topografía convencional (teodolito óptico y mira taquimétrica), es una labor muy engorrosa y quizá ello fue un acicate para impulsar la fotogrametría. Cualquier topógrafo entenderá esto perfectamente.
Fig.2.- Gráfico que resume la idea básica en la que se fundamenta la fotogrametría, tanto referente a fotografías aéreas como a las realizadas desde el suelo.
En la segunda década del pasado siglo XX, se realizó asimismo un plano topográfico (con sus correspondientes curvas de nivel) del entorno de Villablino (León), para la explotación del carbón de aquella zona. La fotogrametría terrestre, fue obviamente anterior a la fotogrametría aérea. Esta última adquirió notable desarrollo sólo a partir del siglo XX con el invento de la aviación. La fotografía sin embrago se descubrió en las primeras décadas del siglo XIX. No obstante ya en el siglo XIX se debieron hacer fotografías colocando cámaras fotográficas a bordo de globos. Las técnicas fotogramétricas se pensaron en principio para hacer planos de reducidas extensiones, tales como edificios o castillos. La idea de aplicar la fotogrametría para hacer mapas de varios kilómetros cuadrados de terreno surgió pues tras el desarrollo de la aviación.
Tanto en los años 40 como en los 50 del pasado siglo XX, se realizaron fotografías aéreas de modo generalizado de toda España, utilizando, obviamente, aviones. Se hicieron gracias a tecnología y medios extranjeros (Estados Unidos básicamente) y por ello se conocen como los “vuelos americanos”. Las fotografías de los años 50 deben ser las más conocidas, si bien es evidente que las anteriores y al menos desde el punto de vista histórico son quizá las más interesantes. En la publicación original en papel la imagen fotográfica aparece en un formato de 22,8 x 22,8 centímetros, que corresponde a una superficie de 7 x 7 kilómetros. La escala resultante es (de modo aproximado eso si) de uno a 30 000.El eje de la toma es vertical, aunque para la realización de planos, no es estrictamente necesario que se utilicen tomas del terreno con eje vertical.
A escala uno a 30 000, ya se pueden hacer mapas geológicos aceptables de amplias zonas, como resulta evidente para cualquier geólogo. Los datos de las fotografías se pueden llevar a los mapas incluso sin necesidad de conocer técnicas de fotogrametría, como ya expliqué. Si en vez de hacer mapas geológicos a pequeña escala pretendemos realizar ciertas labores de agrimensura, es asunto es diferente y pienso que muchas de las interminables, engorrosas y desagradables discusiones debidas a deslindes de fincas; tienen su origen en este punto. No obstante, esta es otra cuestión.
El problema de la agrimensura y otros asuntos relativos al catastro se pretende resolver actualmente recurriendo a ortofotos, es decir a fotografías o imágenes fotográficas modificadas para que sean proyección ortogonal. Lamentablemente, no domino la técnica para realizar ortofotos a partir de fotos normales (proyección cónica); no obstante, al hablar de la explicación matemática indico algunas pistas que creo son de interés, para entender como puede hacerse.
La fotogrametría y la geología.
Para la realización de mapas geológicos es muy útil la fotografía aérea, ya que si a simple vista comparamos un mapa topográfico con una fotografía aérea normal (es decir que sea en proyección cónica y no ortofoto), y realizada con eje de toma vertical, es muy fácil identificar sobre el mapa los detalles del terreno que aparecen en la fotografía. Ello resulta evidente sobre todo si la escala del mapa y la de la fotografía (esta siempre y sólo aproximada) son similares y siempre y cuando la altura del vuelo sea suficiente para que todos los puntos del terreno estén reflejados en la imagen fotográfica. En un vuelo a baja altura un monte muy elevado puede ocultar parte del terreno como es obvio. Por todo ello en la labor de realizar cartografías geológicas, no es necesario recurrir a técnicas de fotogrametría. Si se recurre a la observación de pares de fotografías con el estereoscopio que nos permite ver el relieve de maravilla, aunque eso si observando al unísono dos fotografías de la misma zona tomadas desde puntos de vista diferentes. La explicación matemática de estas observaciones con estereoscopio, entiendo, que tienen bastante relación con la fotogrametría. No obstante, observar el relieve de este modo no es lo mismo que hacer planos en proyección ortogonal, es decir planos normales a la escala que se elija.
Fig.3.- Lo reflejado en esta imagen sin duda resulta bien conocidos en el ámbito de geología.
Los geólogos utilizamos fotografías aéreas (en especial las del célebre Vuelo Americano Serie B de los años 50), para poder realizar con comodidad mapas geológicos. La altura del vuelo estimo que fue de 5 500 metros sobre el nivel del mar, en muchos casos, aunque para asegurar este dato debería volver a realizar cuidadas medidas sobre las fotos de ese vuelo que yo conservo. Esas fotografías están realizadas de tal modo que aún siendo proyecciones cónicas, como ya expliqué, y sin necesidad de llevar a cabo su transformación en ortofotos, resultan útiles para reflejar en mapas topográficos que si están obviamente realizados mediante proyección ortogonal, los datos geológicos del terreno. Aún conservo algunas de estas fotografías aéreas que en el año 1978 (cuando el Mundial de Futbol celebrado en Argentina) utilizábamos en la facultad para realizar cartografías de la Cordillera Cantábrica en la zona de Santa Lucía (León). Están a escala 1: 15 000 ya que son ampliación al doble de las publicadas en formato original. Incluso una cartografía realizada sobre fotos aéreas de toma vertical, puede ser perfectamente válida a muchos efectos.
Cuando en los años 70 en El Bierzo se realizó una detallada cartografía para evaluar las reservas de carbón, también se utilizó fotografía aérea. Esta sirvió para elaborar mapas topográficos y geológicos a escalas 1: 25 000 e incluso más detallados aún, es decir a escala 1: 10 000. Las fotografías aéreas asimismo se utilizaron-creo recordar- para reflejar en ellas la cartografía geológica antes de plasmarla en planos.
De todo lo expuesto, cabe señalar que las fotografías aéreas plasmadas en un plano rigurosamente horizontal son “casi” unos planos perfectos a muchos efectos. A simple vista así lo parecen, pero cuando se hacen análisis con cierto cuidado se comprueba que no es así. Comprender la diferencia entre proyección cónica y ortogonal, es una de las claves para entender, como es posible realizar planos a partir de fotografías, tema que abordo en el siguiente punto.
La explicación matemática
La geología como disciplina científica, no debe desdeñar, sino al contrario, las matemáticas. Aquello de que “toda ciencia tiene de ciencia lo que tiene de matemática”, también se aplica a las labores que hacemos los geólogos. En este tema como en muchos otros de índole científica y técnica, es esencial tener unos ciertos conocimientos de geometría y matemáticas, para poder entender en que consiste la fotogrametría en todos sus detalles. Pienso que los conocimientos matemáticos de un geólogo, han de ser suficientes.
La geometría ha servido desde los tiempos de la Antigua Grecia para resolver complejos problemas. Es bien conocido que ya en la época señalada se describió un método que permite determinar la distancia de nuestro planeta al Sol y otras medidas realmente asombrosas incluso para muchos universitarios actuales. Otro tema es que la tecnología de hace siglos no permitiese tomar datos muy precisos. Este asunto (método de los científicos griegos antiguos) de la medida de la distancia al Sol lo analicé yo hace años (antes de 2012) y publiqué mis conclusiones en la revista de la Asociación Leonesa de Astronomía (LEO nº 103). Ver referencias bibliográficas.
Unos conocimientos de matemáticas y geometría relativamente elementales y un cierto esfuerzo mental, pueden permitir a partir de los gráficos que se adjuntan, entender de que se trata. Las personas con conocimientos de topografía tienen más facilidad para entender todo esto. En realidad, las medidas que se pueden hacer a partir de fotografías de cualquier parte del espacio, sea la fachada de una catedral o un terreno con sus valles y montañas, son similares a las que se hacen con un teodolito. El trabajo de los topógrafos (al menos los topógrafos digamos más conocidos, es decir los que utilizan la llamada topografía clásica), consiste en principio en determinar la dirección y pendiente de líneas rectas que salen del punto de observación (teodolito) a cualquier otro punto sea la esquina de una casa o la cumbre de la torre de una iglesia. Esto es justamente lo que se puede conseguir realizando medidas sobre fotografías. Actualmente las modernas tecnologías (GPS) están dejando anticuados a los teodolitos, pero este ya es otro asunto.
Una visual matemáticamente es una línea recta en el espacio, que se define mediante funciones o ecuaciones matemáticas con referencia a las tres coordenadas del espacio euclídeo X-Y-Z. En la práctica y en base a mi experiencia laboral creo que es más sencillo descomponer el problema. Una línea tiene su proyección ortogonal en el plano X-Y, aún cuando no sea una línea rigurosamente horizontal. Por tanto y dado que las coordenadas de los puntos y a muchos efectos se pueden utilizar en principio, referidas sólo al plano (X-Y), se pueden resolver los problemas matemáticos considerando sólo el valor de las abscisas y ordenadas. Como además en el terreno y en fotogrametría también se conoce la pendiente de una visual respecto al plano (horizontal) de referencia, en una posterior operación o cálculo se puede determinar la posición completa en el espacio (X-Y-Z) de cualquier punto.
Una de las tareas rutinarias en topografía consiste en determinar la posición (X-Y-Z) de un punto inaccesible que puede ser por ejemplo la cumbre (C) de un edificio y hacerlo mediante visuales a la misma desde al menos dos puntos de coordenadas conocidas. No se trata de colocar en dicha cumbre un espejo reflector (prisma) ni de enviar algún tipo de señal o rayo a ese espejo. Se trata de conocer la dirección y pendiente de dos visuales realizadas a esa cumbre. Ver figura 4.
Fig.4.- Conociendo las coordenedas (referidas a los tres ejes del espacio euclídeo), de los puntos P 1 y P 2, y la orientación y pendiente de las visuales trazadas a la cumbre de la imagen es posible conocer la posicón en planta de esa cumbre (X-Y) y su altura (Z).
Las coordenadas de los puntos son X1-Y1 -Z1 (punto P1). Las de P2 serán (X2-Y2-Z2). Con un teodolito es sencillo para cualquier topógrafo determinar las direcciones, respecto a los ejes de coordenadas X-Y elegidos) y también las pendientes (respecto lógicamente a un plano horizontal) de las visuales trazadas desde P1 y P2 a esa cumbre. Si consideramos (para facilitar el problema) primero la proyección ortogonal de esas visuales mediante unas sencillas ecuaciones podremos determinas las coordenadas X e Y de la cumbre. En efecto las ecuaciones de las visuales son las siguientes:
Desde P1.- Y-Y1= M1(X-X1)
Desde P2.- Y-Y2= M2(X-X2)
Las únicas incógnitas son X e Y (coordenadas en planta de la cumbre). La resolución de este sistema de ecuaciones nos permite calcular de inmediato en valor de X. Una vez calculado el valor de X el de Y es asimismo inmediato. M1 y M2 son las pendientes en sentido matemático (no topográfico, es decir respecto a un plano horizontal) de las visuales en planta. El cálculo de X e Y permite saber las distancias horizontales desde P1 y P2 a la cumbre y puesto que el teodolito también nos proporciona la pendiente topográfica la Z o altura de la cumbre se puede calcular por partida doble, es decir tanto desde P1 como desde P2. Hay algún quizá más sencillo de resolver este problema. Sabiendo las coordenadas de P1 y P2 sabemos la distancia y la orientación de la recta P1-P2 y con las visuales podremos resolver fácilmente el triángulo P1-C-P2
Esta operación es una de las que de modo rutinario realiza cualquier topógrafo con un teodolito o instrumento similar. Se trata de medir ángulos horizontales y verticales y en el caso de los horizontales que estén orientados, es decir referenciados respecto al eje X-Y. Los verticales y por definición se miden respecto al plano del suelo en este caso. Es la técnica denominada bisección directa. Una variante es la bisección inversa (calcular las coordenadas del punto de emplazamiento del teodolito, gracias a visuales orientadas a al menos dos puntos de coordenadas conocidas) pero esta variante no se utiliza en fotogrametría.
En fotogrametría se acude asimismo a otros conocimientos geométricos y matemáticos relativamente simples, como los utilizados en los problemas sencillos de resoluciones de triángulos, el teorema del seno, el del coseno, las semejanzas de triángulos… No obstante, esa técnica del cruce matemático de visuales creo que es la clave y la base de la fotogrametría.
Si en vez de utilizar un teodolito empleamos fotografías realizadas desde dos puntos de vista distintos, de coordenadas conocidas y sabemos la orientación de las tomas fotográficas y la distancia focal lo que sucede es que a partir de medidas realizadas sobre el papel en el que están impresas las imágenes fotográficas (u otro soporte similar) sabremos las direcciones y pendientes de las visuales trazadas a todos y cada uno de los puntos fotografiados siempre lógicamente que todos ellos aparezcan por duplicado es decir en ambas tomas. Por este motivo en las fotografías aéreas siempre se hace un solape de las zonas fotografiadas. Lo dicho se aplica a cualquier tipo de tomas fotográficas.
La fotografía aérea con eje de toma vertical, es un caso particular de la fotogrametría y la filosofía o metodología de trabajo en fotogrametría aérea es idéntica a la de la fotogrametría en general. Otro tema es que en este caso las labores que es preciso realizar sean más sencillas. Con mediciones efectuadas desde cada una de las fotos de una misma zona, se pueden determinar las coordenadas (X-Y-Z) de cualquier punto. Los puntos visualizados desde ambas imágenes se llaman puntos homólogos. No obstante, en fotografía aérea se dan algunas circunstancias peculiares. Las imágenes se captan colocando la cámara fotográfica de tal modo que el eje de la toma sea rigurosamente vertical. De este modo si despreciamos el efecto de la curvatura terrestre y creo que se puede despreciar en muchos casos, resulta que el relieve es el único elemento que hace que la imagen en proyección cónica sea diferente a la realizada en proyección ortogonal. Esto se comprende fácilmente teniendo en cuenta la semejanza de triángulos. Es evidente por otra parte que a medida que la altitud de la toma (de eje vertical) se incrementa las diferencias entre imagen cónica y ortogonal se van disminuyendo.
Cabe señalar que unos conocimientos básicos de matemáticas y geometría (enseñanza secundaria de mi época), sirven para mostrar las relaciones matemáticas que existen entre la escala de la fotografía, la altura de la toma, la distancia focal y las medidas que se pueden hacer sobre fotografías. Asimismo, resulta evidente que la escala de la fotografía es mayor (denominador menor) en puntos situados en las cumbres que en los de los valles y que la escala por ello hay que indicarla en referencia a la altitud de los puntos fotografiados y que para determinarla hay que medir distancias en puntos de la fotografía que estén a la misma cota.
Si se dispone de un plano topográfico (escala uno a 25 000) por ejemplo y se comparan los datos del mismo con los de las fotografías aéreas (escala aproximada uno a 30 000) es posible realizar cálculos curiosos como por ejemplo saber la altitud a la que volaba el avión. Para ello hay que tener en cuenta los desplazamientos debidos al relieve. Este relieve y datos matemáticos sobre el mismo se conocen gracias al mapa topográfico. Los puntos ubicados en las cumbres aparecen desplazados (alejados) del centro de la fotografía de lo que lo estarían si el terreno fuese rigorosamente llano. Con los valles sucede lo contrario (se acercan).
Puesto que “una imagen vale más que mil palabras” y puesto que la explicación matemática, es algo más propio de topógrafos, cartógrafos y otros profesionales que de los geólogos, no insistiré mas en este punto. Los gráficos que adjunto en este artículo, unos conocimientos básicos de matemáticas y geometría, esfuerzo mental y paciencia pueden servir para entender mejor todo este punto.
Fig.5.- Relaciones geométricas entre triángulos. Gráficos pensados para fotografías aéreas verticales. En la figura 2 resulta evidente que, en este caso singular, es decir suelo plano y despreciando la curvatura terrestre la fotografía en proyección cónica si daría una imagen de escala constante. Pero claro en general el suelo jamás es un plano.
Fig.6.- Gráficos que son muy útiles para entender las relaciones entre el terreno y la imagen que aparece en una fotografía aérea de toma vertical.Un plano topográfico a escala adecuada sirve para conocer las diferencias de cota entre cumbres y valles así como las distancias horizontales entre diversos puntos representados en un mapa topográficos.
Los análisis detallados de fotografías aéreas y de fotografías en son de gran interés, para su aplicación de cara a realizar medidas sobre el terreno. No obstante, este es un tema más propio de topógrafos y de otros profesionales que de geólogos. Medidas efectuadas sobre una sola fotografía (en proyección cónica) y medidas efectuadas sobre planos topográficos que reflejen el relieve (es lo normal), permiten conocer la altura a la que se realizó la fotografía. También ayuda la distancia focal y lógicamente la escala de las fotografías, en función de la altitud de los puntos fotografiados.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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MELÉNDEZ TERCERO R. Fotos y ortofotos y proyecciones. Astorga Digital. 7-septiembre-2015.
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LERMA GARCIA J.L. Problemas de fotogrametría. UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA. Año 1999.
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Madrid 14 de septiembre de 2023 // Rogelio Meléndez Tercero
